2020年12月16日，常州市自觉数学教育高端成长工作室全体成员相聚在常州市勤业中学，开展了一天的研修活动。下午的内容是眭亚燕老师、沈静老师、沈秋萍老师的数学专题讲座，活动由王岩老师主持。

　　一、数学建模思想



　　浦河实验学校的眭亚燕老师带来了讲座《建模思想》。

　　常州市飞龙中学 孙梅

      新的校园，在潘校的带领下，工作室成员们又开启了一次新的求知。一天的活动，收获满满。下午非常有幸聆听了眭亚燕老师的讲座《建模思想》、沈静老师的讲座《极限思想》、沈秋萍老师的讲座《有效预习策略分析》，其中眭老师的讲座让我印象深刻。

      作为一位经验丰富的教师，眭老师的讲座引用了不少教学中实实在在的例子，而且用典型的论文来表达自己对模型思想的认识，让我们都得到了满满的干货。

      数学来源于生活：

      从CT机的原理谈起，让我们感受到模型在生活中的必要性。从生活模型到数学模型，感受到了数学家们的伟大之处，把许多数学问题都用模型归纳总结，留给了我们许多宝贵的知识财富。

      数学应用于生活：

      从数学大家们解决数学问题作为引子，提出了初中数学学习中利用模型解决问题的便捷性和有效性，让我们感受到了这一重要思想的广泛应用性。结合眭老师自己的一篇关于“阿氏圆”模型的论文，被眭老师深厚的教学理论功底所折服。教师，不仅仅是教学，更重要的是反思，并从反思中提升自己。

      在整个初中数学教学中，有许多数学思想和模型，教是为了学生会应用，而如何让学生学会主动去建立模型，去解决问题，是一个不会停止的研究课题。

　　常州市雪堰中学 杨翠芹

      12月16日，在崭新的勤业中学，潘建明高端成长工作室开展了教研活动，在这次活动中，非常有幸聆听了眭亚燕老师的讲座《建模思想》、沈静老师的讲座《极限思想》、沈秋萍老师的讲座《有效预习策略分析》，每一次的工作室活动对我来说都是一次对教学理念的洗礼，对教学能力的提升。下面就眭亚燕老师的讲座《建模思想》说说自己的收获。

      眭老师讲座的精彩在于她是以研究的态度来对待自己的教学。在讲座中，眭老师从模型思想的历史演进发展、建模的心理学理论基础、初中数学常用模型等多个角度对建模思想进行了深入的研究。

      1. “数学模型起源于社会实践活动”，眭老师从欧拉为解决哥尼斯堡七桥问题建立了“一笔画的判别模型”开始，向我们展现了模型思想的悠久历史，也让我们了解了模型思想的发展历程。模型思想是十个核心概念之一，是一种数学的基本思想。

      2. 眭老师在讲座中不仅介绍了模型思想的历史，更指出建模的具体步骤：首先数学抽象，从具体情境中抽象出数学问题。其次建立数学模型，用数学符号语言建立方程、不等式、函数、统计等表示问题中的数学关系和变化规律。然后解模，解数学模型得到结果，并用该结果解释原问题，得出符合实际意义的结果。

      3.从建模的三个步骤，我体会到在教学中要注意凸显各个步骤的教学价值。数学抽象，这说明发现问题和提出问题是数学建模的开始，是培养学生问题意识和数学抽象能力的重要环节。建立数学模型，在这里，学生要通过观察、分析、抽象、概括、选择、判断等数学活动，构建数量关系，得到数学模型，培养学生的逻辑推理能力。解模，通过模型求出结果，并用此结果去解释它在现实问题中的意义，这里强化了学生的应用意识。

      4.通过这次讲座我也感受到眭老师是一位非常有心、善于探索、勤于总结的老师。讲座中，眭老师在阐述建模思想时，整理了初中数学中常用的数学模型：方程与不等式模型、函数模型、三角与几何模型、统计模型，运用了大量的实例，并结合自己的教学介绍了阿氏圆的建模教学。眭老师对问题进行不断地探索总结的这种执着精神非常值得我去学习。

　　二、极限思想

　　田家炳初级中学的沈静老师带来了讲座《极限思想》。

　　常州市清潭中学 吴洋

      今天下午聆听了沈静老师的讲座，受益匪浅。初中数学教学中并不缺少极限思想，所缺少的是对极限思想方法的发掘。聆听完讲座后，我也进行了反思，反思平时教学中忽略了极限思想方法的渗透。

      极限思想是近代数学的一种重要思想。大学里必学课程《数学分析》就是以极限为基础的。极限是数学中最基本、最重要的概念之一，极限思想是微积分的基本思想。极限的思想方法是人们从有限中认识无限，从近似中认识精确，从量变中认识质变的一种数学思想方法。极限思想方法在初中数学中也有广泛的应用。

      例如：

      1.求圆的面积。在已有三角形面积公式的基础上，怎样推导出圆的面积的计算公式呢？我们可以采用“无限分割”的思想方法，“化曲为直”，把圆分成n个小扇形，当n趋向于无穷大的时候，每个小扇形又可以看作小三角形，便能得到圆面积的近似值。

      2.求数列的和。随着n的增大，无限接近1。对于这个问题，借助于图形，把一个面积为1的正方形平分，得到两个面积为的长方形，再把长方形沿着长边的中点，分割成两个面积为的正方形，再继续分割……无限分割下去，表示分割n次后，这n个矩形的面积的和就等于1减去第n次分割后的矩形的面积，而随着n的无限增大，第n次分割后的矩形的面积接近于0，从而该式子的结果无限接近1.

      3.概率的估计值。一般地，在大量重复试验中，当试验次数很大时，如果事件A发生的的频率稳定在某个常数P附近，那么我们把P作为事件A发生概率的估计值。试验次数越多，频率偏离这个常数的可能性越小。这个常数称为这个事件的概率。 有了该事件发生的概率，我们就可以对事件进行预测。

      我们在平时教学中，若能通过一些例题，向学生渗透极限思想，对学生数学思维能力的提升将会有很大的帮助。这就要求我们课前应潜心研读教材，挖掘文本内涵，立足学生已有的知识经验，借助具体的学习情境，帮助学生积累更多的无限思想，极限思想才能渗透到学生的数学思维中。在教学过程中，我们可以把极限思想与直观图像结合起来，让学生从特殊的图像入手来认识极限思想，让数学结合思想与极限思想互相融合。

      国家数学课程标准已经将“双基”扩展为“四基”，在基础知识、基本技能的基础上增加了基本思想和基本活动经验。我们要重视数学思想方法的教学，通过数学知识这个载体，挖掘其中蕴含的数学思想方法，更好地理解数学，使学生在掌握数学基础知识的同时，初步形成数学的思维策略。

　　常州市田家炳初级中学 朱正芳

      2020年12月16日，常州市自觉数学教育高端成长工作室的全体学员在潘建明导师的带领下，来到了常州市勤业中学，本次活动中我们不仅认真学习了两节实验建构课——孙梅老师的《折中思，拼中算——三角函数的计算》和吴洋老师的《最小覆盖圆》，更认真聆听了眭亚燕老师、沈静老师和沈秋萍老师带来的精彩讲座。几位老师准备充分，亮点突出，让我们收获满满。下面就沈静老师的讲座《极限思想》谈谈个人的心得体会。

      初听这个讲座的主题，感觉极限思想离我们初中数学非常遥远，因为极限的思想是近代数学的一种重要思想，数学分析就是以极限概念为基础、极限理论(包括级数)为主要工具来研究函数的一门学科。所谓极限的思想，是指用极限概念分析问题和解决问题的一种数学思想。用极限思想解决问题的一般步骤可概括为：对于被考察的未知量，先设法构思一个与它有关的变量，确认这变量通过无限过程的结果就是所求的未知量；最后用极限计算来得到这结果。但通过聆听沈老师的讲座才发现，极限思想一直渗透在初中数学中。

      极限思想与圆有不解之缘——圆的很多结论都是利用极限思想来进行解释。例如圆的对称轴有无数条的归纳就是利用极限思想得出的，圆是其内接正n边形边数n无限增大的结果，在此基础上，由正n 边形的n条对称轴到圆的无数条对称轴就可以顺利得出再比如圆的旋转不变性、扇形的面积与弧长有关公式的得出都可以用极限思想进行理解。

      说到初中数学中极限思想的应用，最能让我们想到的是无理数的存在性感受过程，这其中就利用了逼近思想，体会 “无限”的过程，发展数感。在我们估计二次函数与x轴的交点的近似值时，也再次感受到这种逼近思想。

      用频率估计概率的大小，也是初中数学中极限思想的一个典型体现。一枚图钉被抛起后钉尖触地的概率有多大?这个问题很难用理论来推算，只能用实验来帮忙．记录抛掷 40 次、80 次、120 次、160 次、200 次 … 后出现钉尖触地的频数和频率，列出统计表，绘制折线图，观察折线图的趋势，从而得出当次数越来越大时，频率趋向等于概率。

      从沈老师的讲座中，既让我感觉到，沈老师是一位善于观察、及时总结，非常认真的老师；也让我体会到，初中数学中也蕴含了许多数学方法和思想，而我们要做一位有心的老师，不仅要在研究教材时及时发现，更要在平时的教学中进行渗透。

　　常州市同济中学 袁冬华

      极限的思想方法是人们从有限中认识无限，从近似中认识精确，从量变中认识质变的一种数学思想方法，它是事物转化的重要环节。极限是数学中最基本、最重要的概念之一。

      通过讲座，我们清楚地知道初中教学中渗透极限思想的意义。

      1.极限思想为某些教学难点的处理开辟了途径。极限思想的方法往往是建立变量，并且首先确定它的一连串越来越准确的近似值，通过考察这一连串近似值的趋向，把变量的准确值确定下来。这就意味着学生可从分析简单情况入手，在此过程中通过“观 察”、“计算”、“推测”，发现其中规律，获得必要结论，这就为教学中处理某些难点开辟了途径。

      2.极限思想为进一步学习某些知识难点作铺垫。作为中学阶段最基本和最重要的一类数学思想,极限思想除具有一般数学思想具有的教育作用和意义外,更由于其特有的分析处理问题的方法,凸显其在培养学生方面所具有的“特殊”价值和意义. 极限思想在探究问题方面特有的“过程性”,意味着学生在运用极限思想进行某些新知学习时,可借助已有认知储备,主动建构自己的新知识.

      如何在初中教学中渗透极限思想？

      1.在日常教学中渗透，逐步形成认知。学生早在小学阶段就开始接触“无限”的概念，如“自然数的个数是无限的”、“自然数是可以无限大的”等.因此，极限思想不能回避，教师要在日常教学中进行渗透，让学生逐步形成对它的认知。作为教师，要在课前潜心研读教材，挖掘文本内涵，立足学生原有的知识经验，借助具体的学习情境，帮助学生积累更多的无限思想，极限思想才有可能渗透

      2.在数形结合中渗透，促进与图像的融合。学生对极限思想的学习，之所以困难重重，这是因为它高度的抽象性所决定的.在教学过程中可以把极限思想与直观图像结合起来,让学生从特殊图像入手来认识极限思想,让数形结合思想与极限思想相互融合、碰撞.

      3.在优化解题中渗透，体验巧妙解题的魅力。数学思想的魅力在于能巧妙运用，优化解题思路，提升解题效率。极限思想也不例外，在教学现场及时捕捉有利于渗透极限思想的突破点，让学生在有限的学习时间中尽可能充分地感悟、形成极限思想。从而避开繁杂的讨论，大大优化解题过程。

      初中数学教学可以渗透的是类似“割圆术”的原始的、初级阶段的极限思想，让学生获得极限思想所承载的思维功能和解题方法。“数学思想是一种智慧，不是教出来的，而是悟出来的。”作为教师，我们应竭力厘清教材内容背后隐含的数学思想，并通过自己的合理组织，为学生感知思想、体会思想、认同思想、建构思想提供强力支撑，为学生将来顺利开展更高层次的学习做好充分的认知储备，最终形成深厚的数学素养。

　　常州市东青实验学校 沈虹

      在这个寒冷的冬季，自觉教育高端数学工作室的老师们济济一堂，共同齐聚勤业中学成长学习，为冬日的萧索增加了一份温暖的色彩。其中，沈静老师关于极限思想的讲座让我收获颇丰。在学习过后，我谈几点自己的感触：

      1、思想方法的总结要渗透在日常教学中。

      其实极限思想在初中数学阶段还是启蒙，类似任何一种启蒙教学，好的开始是成功的一半，虽然数学思想相对较抽象，但对于逐渐从具象学习转变到抽象学习的初中生来说，每一次数学思想的渗透或者数学方法的提炼都不失为学生成长的过程。通过沈静老师的讲座，对教学经验尚且不足的我来说，更是醍醐灌顶，原来在初中数学教学过程中，有这么多用到极限思想的地方，这些是我在今后的教学工作中要注意提及和渗透的地方。

      2、思想方法的提炼要贯穿在日常学习里。

      如果没有教师在一次次常态课中的方法指导，即使在教学过程中有数学思想的体现，学生也可能无法体会，就会导致理论与实践的不一致性，学生对于重要的解题方法和数学思想也只是一味的死记硬背，无法活学活用。因此，在日常教学中，我会坚持让学生在新授课、习题课、活动课中不断总结经验、自我提升，不积跬步无以至千里，相信只有发挥学生的主观能动性、调动学生参与的积极性，并坚持下去，三年的初中时间一定可以在学生的脑海中留下不同数学思想方法的印记。

      每一次活动的参与，都能感受到每一位老师的激情。不论是开课还是讲座，总能感受到工作室老师们思维的一次次碰撞，就是在这样的氛围下，我也感觉到自己在专业发展的道路上正在稳步向前。我会更加珍惜每一次学习和开课的机会，在潘校高位引领下争取向优秀的数学教师迈进。

　　三、有效预习策略分析

　　田家炳初级中学的沈秋萍老师带来了讲座《有效预习策略分析》。

　　常州市新北区新桥初级中学 裴玲燕

      2020年12月16日，我参加了常州市自觉数学教育高端成长工作室在勤业中学为期一天的培训。能有机会参加这样的培训我感到非常的荣幸，这一天让我感觉收获颇丰。我评一下沈老师的讲座，沈老师精心准备，听了这场讲座，让我很受启发，下面就《有效预习策略分析》来谈谈我的一些想法。

      预习，顾名思义就是学生在课前的自学。 “良好的开端就是成功的一半＂，良好的预习习惯，可使学生终身受益。对学生来说，除了基本知识、基本技能培养外，很重要的是要调动学生学习的主动性，发挥和突出学生在学习中的主体地位，培养他们良好的学习习惯，掌握正确的学习方法。因此，自主学习习惯的培养应是基础教育的重要内容。

      《新课标》将培养学生自主学习能力作为重要目标提出，而学生的有效预习则是落实这一目标的一个不可忽视的重要环节，它对学生学会掌握新知识，养成良好的学习习惯起着至关重要的作用。经实践，在数学教学中进行课前预习，对学生学习数学有着积极的意义。

      怎样预习才有效?是我们要思考的。有效的预习，能提高学习新知识的目的性和针对性，可以提高学生课上听讲的效率，改变被动学习的局面。既有助于学生更好地把握重点，又培养了学生的自学能力与运用能力。因此“学生有效预习”的落实，对提高课堂教学质量举足轻重，值得探讨和研究。

      合理的预习内容往往体现了合理的预习方法，教师根据教学内容的特点，列出预习提纲，让学生带着提纲去预习，故而预习提纲应精心设计。要有针对性，即针对教学内容的特点，针对学生的特点。要有启发性，即启发学生的思维，打开学生的思路。

      如何进行有效的预习，提高学生预习的效果，除了教师在对教材深度了解后合理设计预习问题外，应重在加强对学生预习方法的指导:要认真读书。先将教材粗读遍，领会基本大意，然后再反复细读。细读时，可用彩笔在课本上初步勾划出重点、难点、疑难问题。要认真思考。预习时要运用已有的知识、经验及有关参考材米料，进行积极的思考，多问几个为什么弄清旧知识的内在联系和新内容中的每概念、定律、公式等。要虚心请教。

      最后沈老师形象具体的把将预习、课堂学习和课后作业比喻成一天当中的早饭，午饭和晚饭。将预习比作一天当中的早饭，早饭我们不仅要吃，而且还要吃好；将课堂学习比作一天当中的午饭，一定要吃饱；将课后作业比做晚饭不一定要多，但一定要精致。非常生动形象的表达了预习的重要性。

总之，沈老师的讲座让我收获颇丰。

　　常州市田家炳初级中学 沈静

      预习这项学习任务在数学学科的重视程度上可能一直不如语文学科，一方面是由于学生作业时间的原因，家作要练习巩固当天的上课内容；一方面是数学课更注重在课堂上的思考过程，而不是光用结论来做题，为了避免学生只知其结论忽视其探究过程，所以也不会布置学生进行预习。今天听完沈秋萍老师关于《有效预习策略》的讲座，又重新审视了预习这项学习环节，重新思考如何预习更加有效。

      1.预习任务要求要明确。数学老师不愿意布置预习作业，肯定是觉得学生预习就是看看背背书上的现成结论，并不会思考其过程，所以这就需要老师精心设计预习的问题，引导学生在看书过程中关注一些重点内容或引发一些疑问，比如沈老师在讲座中提到的关于角平分线内容的预习、解方程的预习。通过预习内容，教师可以在课前了解学生在几何书写、方程计算的问题，预习可以让新授课更有针对性，更有效收集课前预习问题，在新授课上及时解决，为教师上课指明方向。

      2.预习的形式原来可以这样多样丰富。一般我们觉得学生预习能带着几个问题、解决几个问题、提出几个问题就很好了，但是通过沈老师的讲座，原来数学预习除了书上的定理理论，还可以画图、做题、操作，只要老师根据新课内容精心设计预习任务，预习就可以激发学生的学习、研究的兴趣，老师也可以得到想要的预习结果。

      2. 预习的时间把握。学生的作业时间往往总是用来巩固新授课内容，那么如果再安排预习任务，学生的作业时间岂不是又要加长，又增加了学生的作业任务吗？所以我觉得还是取决于教师对学习内容的把握，一方面不是每节课都有预习的需要，比如沈老师提到因为前面讲过了中点的内容，所以尝试角平分线的预习，因为第二天要讲立体图形所以提前动手操作准备好几何体，所以有选择的进行预习，而不是当成每天必须完成的作业就不会占据学生很多时间；第二方面就是教师准备好任务明确的预习单，方便学生填写回答，同时也节约学生没有方向的看书时间，这样有效指导学生预习时该思考的重点内容或者预习后需要学生反馈的问题以便服务于课堂。

      预习肯定是为了课堂更有针对性更高效，所以如何有效预习是数学老师每次布置预习任务之前应该慎重思考的。

　　常州市东青实验学校 卢彬彬

      今天，气温虽低，但大家的学习热情丝毫不减，早早的来到了美丽的勤业中学，开始了为时一天的学习。

      通过沈秋萍老师的讲座——《有效预习策略分析》，我认识到了组织学生开展预习工作的重要性。

      首先，通过预习，可以使学生了解下一阶段的学习任务，明确自己的学习目标。同时，在预习的过程中，学生会对新内容产生一些疑惑和问题，这就使学生在听课时有所侧重，充分全面地理解、掌握某个知识点。另外，预习还能增强学生自主学习的能力，为学生未来的自主学习生活打下扎实的基础。

      结合沈老师的讲座，我发现自己在布置预习任务时还存在一定的误区：

      1. 对学生的课前预习不够重视。

      回顾自己平时的日常教学，往往会忽视学生的课前预习。认为新课还是要上，是否预习影响不大。但经过今天的讲座，我认识到合理开展预习工作，有利于增强学生的学习信心，为新课学习打下了基础。

      2. 布置预习任务太过随意。

      在设计预习部分时，有时只是对知识点的简单填空，缺少对知识的转化和运用，不利于学生对知识的生成和深入理解。

      3. 缺少预习方法的指导。

      预习就是一种先学、先修的过程，是培养学生自主学习能力关键。但是由于大多数学生没有掌握有效的预习方法，更没有预习的思路，使他们有预习过程却不见成效。所以教师在学生第一次预习前，需要先带领学生一同预习，理清预习重点，规范预习要求。

      4. 预习结果缺少反馈。

      在布置预习任务，学生完成以后，缺少对预习结果的批改，不利于学生发现自身的错误，长此以往，一些自制力差的同学就会敷衍应付，导致预习效果低下。

      要使学生的预习情况真实有效，教师必须做到以下几点：

      1.培养学生预习兴趣

      俗话说:“兴趣是最好的导师”，学生只有对数学预习产生兴趣，他们才能乐于预习，才能用心预习，从而提高预习成效，并持之以恒，养成预习的好习惯。所以老师先要想方设法激发学生对数学预习的兴趣。因此教师在设计预习任务时，要精心钻研教材，尽量把预习任务设计得有趣些。并尽可能多地给同学们展示自己预习成果的机会。

      2.明确预习任务

      教师需在新课开始的前一天明确预习任务，可以是自己独立预习，也可以是小组合作预习，让学生有目的地预习，从而培养学生自觉预习的习惯。

      3.教师对学生预习结果的评价与运用

      教师在上新课时可以通过检查部分学生来检测学生的预习效果。通过对学生的检查，掌握学生对新课的预习程度。同时教师要注意对预习情况通报并及时作出评价，肯定学生的付出。在新课教学前，可以先让学生展示自己预习的成果，表达预习过程中还存在哪些困惑，有针对性的破解学生的预习疑难问题，把主动权交给学生。

      沈老师将预习比作三餐中的早餐，很形象的看出预习对于数学教学是必不可少的,然而学生的预习习惯和方法的培养不是朝夕之功，加之预习任务的难易度不好把握，做到持之以恒实属不易，因此便需要教师的不断督促和及时反馈。

　　常州市丽华中学 赵霞

      今天听了沈秋萍老师关于《有效预习策略》的讲座，让我受益匪浅，在这之前我基本不重视课前预习这一培养学生自主学习习惯的养成，主要觉得学生有了家庭作业，没有时间自习，同时也觉得学生自主自习的能力不足，自主预习的态度不端正，因此也就基本不布置预习任务了。今天听完沈秋萍老师关于《有效预习策略》的讲座，使我对课前预习有了新的审视，发现自己之前的想法是有误区的，主要是自己没有掌握好预习的方法，如果老师将明确的预习任务布置给学生，并给予学生正确的方法指导，预习还是能取得不错的效果的。具体体现在：

      1. 预习任务要求要明确。教师要给学生布置明确的预习任务，这样学生才能有的放矢，任务越具体越好，只有明确的预习要求，学生才能明确自己该干什么，该掌握什么，这样才能大大提高预习的效果。

      2. 预习的形式要多样。除了预习数学书上的定理理论外，我们还可以布置画图、操作、甚至是手工类的预习作业，要根据新课内容精心设计预习任务和形式，才能激发学生的预习兴趣，才能获得想要的预习结果。

      3.预习时间要合理。预习作业的布置和巩固作业的布置要能够合理安排时间，既要做到巩固课堂，又要让学生取得不错的预习效果，同时还要主要合理配置时间，不增加学生的负担，因此预约要做到小而精，作业也要做到精准练习分册作业，这样才能照顾全体学生，才能既巩固课堂作业，又提升学生的预习能力。