2020年12月16日，冬日暖阳，常州市自觉数学教育高端成长工作室成员们齐聚常州市勤业中学听课教室，围绕活动（实验）建模课进行了一次深入的研究。

　上午的第一节课由飞龙中学的孙梅老师执教《折中思、拼中算》。孙老师对三角函数计算的相关内容进行整合，利用等边三角形和正方形的简单折叠，引导学生从不同的角度思考了22.5度和15度的三角函数值算法。整节课环环相扣，运用模型思想，促成了角的转化，重视以学生为主体，以真学定真教，增强了学生的合作意识的同时，也提升了合作能力。

武进区坂上初级中学 吴秀兰

    今天我听了孙梅老师的《折中思，拼中算》一节活动实验课，充分感受了折纸的魅力，一张纸片，承载了那么多的数学知识，通过几张小纸片，让枯燥的数学变得如此美妙，如此有趣，佩服孙老师的智慧与创新。

一、创新源于课标

     新课标提出通过不同形式的自主学习、探究活动体验数学发现和创造的历程，提高空间想象、抽象概括、推理论证、运算求解、数据处理等基本能力，发展独立获取数学知识的能力。孙老师带领大家经过拼、折特殊的图形（等边三角形、正方形），得到特殊的角（30º、45º、60º），再次折叠，一般角（15º、75º、22.5º），在原有特殊图形基础上，可计算出这些角的三角函数。让学生在折、拼中，大大培养了学生的动手能力、探究能力，在思考中，培养了学生空间想象、抽象概括能力，在计算中，锻炼了学生数据处理的能力，所以说，这节课较高的提升了学生的学习素养，开阔了学生的思维，学到了解决问题的方法。

二、创新源于思考

    教材是从课程到课堂的重要载体，一个优秀的教师会结合学情读教材，科学地分析教材，艺术地处理教材。教材上没有完整的例、习题结构，更没有现成的套路设计。孙老师将星星点点的题通过个人思考，成功创作成了一个个新、活的师生互动、生生互动的精彩环节，所以说孙老师不但研究了教材，对教材进行了较好的整合，更是很好的研究了学生。课堂上，孙老师以等边三角形、正方形为抓手，引发学生思考，抓住学生的思维节点，点拨用等积法、方程等知识解决，步步以学情为依据，做出引导，学生步步为营，渐进式逼近问题答案。

    数学活动实验课，对发展学生的思维、提升学生的数学素养具有重要意义。潘校通过一条数轴，给我们列出了上这类课的步骤，当前尽管相关素材少，但是我们要大胆尝试，努力开发一些贴合学生实际的素材，从生活到数学，从活动到思考，为学生数学核心素养的提升创设平台。

常州市武进区礼嘉中学 高如玉      

    今天听了飞龙中学孙梅老师执教的数学活动课《折中思，拼中算——三角函数计算问题》一课。首先就被新颖的课题吸引了眼球，暗自琢磨：只听过用拼、折等方法学习三角形和特殊四边形等相关证明和计算，用实验操作的方法研究三角函数问题该是怎样一番景象呢？孙梅老师用45分钟时间向我们娓娓道来：经过拼、折特殊的图形（等边三角形、正方形），得到特殊的角（30º、45º、60º），再次折叠，可得非常用的角（15º、75º、22.5º），借助原有特殊图形可计算出这些角的三角函数。原本是枯燥无味的大量计算课，被设计成趣味盎然的折纸活动，从中发现数学的奥秘，激发了学生的学习自觉，全身心的投入课堂。我分析以下几个亮点：

一、课前精心准备，学具有效易操作

    这节课需借助拼、折特殊图形等方法展开，那么在课前的精心准备就相当必要。课前准备包括教师准备和学生准备。孙梅老师研读教材和综合实验手册，确定教学的重点难点，并重点研究学生，研究这节课针对学生而言已知什么，未知什么，应该知道什么，怎么让学生去操作探究。只有读懂了学生，选用的教学活动内容和形式才能接近学生的生活经验，贴近学生的认知水平，才能让学生“从自己的生活经验出发，用自己的眼睛去观察发现，用自己的认知水平去感悟，用自己的方式操作探究”。这样设计才会有针对性，有实效性。

二、课中精准引导，学生自主探究

    有效的数学学习活动不能单纯的依赖模仿和记忆，教师应激发学生的学习积极性，向学生提供充分的从事数学活动的机会。孙梅老师在实践活动环节充分尊重学生的学习主动性，设计精准的问题串引导学生先折、后思、再说、最后算。孙梅老师创设了既有现实性、可操作性、探究性、挑战性的机会，又有思考性和开放性的问题引领，学生当然更加主动地投入学习，同时孙老师适时引导学生思维的多面性，引导学生对自己的发现进行总结概括，达到解决类似问题的能力。如果老师在课堂上收得太紧，学生可能受到约束无法达到主动动手操作，发现不了问题。

三、课尾拓展升华，学生“学以致用”

    本节课，孙老师给学生动手的空间、思考的空间，去探索“折”的妙处，发挥了学生在活动过程中的主体作用。在课尾放手让学生自主探索“拼”的功效，这里巧用类比的学习方法，实践操作，合作交流。虽然时间有些仓促，但教会了学生学习的方法，同时使学生把所学的数学知识与生活实际相联系，在实践中发现新问题 ，创造性地解决新问题，从而获得综合运用所学知识解决简单实际问题的活动经验和方法，提高学生的综合素质。

     潘校精彩点评时又给我们打开了一扇窗：数学活动课要让学生做中学——学中思——思中悟——悟中获——获中用。

武进区潘家初级中学 王向东

     2020年12月16日常州自觉教育工作室在常州市勤业中学进行课堂教研和专题讲座活动，上午有成员孙梅老师的专题课《折中思，拼中算——三角函数的计算》、吴洋老师的专题课《最小覆盖圆》、睢亚燕老师的专题讲座《建模思想》，下午有沈静老师的专题讲座《极限思想》、沈秋萍的《有效预习策略分析》，整天活动满满，收获多多.上午的两节活动建模课让学生做到了“做中学,学中思,思中悟,悟中获,获中用”，下午的讲座既有理论引领，又有接地气的自身实践教学经验，让老师们知识和感悟又有了新的提升.

    下面对孙老师的活动建模课《折中思，拼中算——三角函数的计算》谈谈个人的收获：

    "数学活动建模"课,是培养学生的数学思维能力,提高学生综合素质的新途径.孙老师设计的每一个实验活动都是从“布置探究任务——学生动手操作——自我发现——小组交流，形成结论——组组展示——师引生导，归纳结论”流程结构入手让学生自己得出知识和能力，整堂课学生参与度高，动手动脑都得到了很好的发展，使学生的核心素养在课堂中落地生根。

     数学活动建模课改变传统的学科教学和学习方式，“做中学，学中做”，实践能力不是通过书本知识的传递来获得发展，而是通过学生自主地运用多样的活动方式和方法，尝试性地解决问题来获得发展的.课堂上学生要通过自己动手，在实践中观察和思考，以悟得新知；同时将习得的知识与具体的生活实践相联系，学以致用，活学活用.

    活动建模课的实施在于教师设计的多样任务问题的驱动，让学生围绕实际行动的活动任务进行方法实践，这样学生就有基本“学力”的内驱.活动建模课的效果关键在于将学生的“说”与“做”统一起来，“做”的过程是活动的生命力所在，如果学生不在做事中学，就会变成只有理论学习没有实践，甚至是变得连理论学习都没有，无论是哪一种，只要不是做中学，就都是低效甚至是无效的；老师如果不在做上教，就必然会变成了理论教学或是为了教学而教学的行为，无论是哪一种，舍教学做合一的方法之外的其他教学方法都是低效或是无效的.

     同时为了防止学生实践活动“形式化”的倾向，教师在课堂上必须千方百计地为学生创设各种有利于实践、体验的环境，让学生动手做，通过具体实践活动，让设想成为现实，只有让学生在活动过程中实实在在“做”起来，才能培养学生创新精神和实践能力，发展学生的综合素质,最后要注意实验要及时归纳总结以提升学生知识和能力培养.

     我想我们只有在以后的教学研究中更多地深入和实践研究，才能使学生的数学素养在平时的课堂中慢慢渗透，学生的素养培养是一个渐进的过程、积累的过程、动态的过程，在教学中着意渗透并力求帮助学生初步掌握知识、思想方法,科学地去引导学生历经直观体验，通过平时教学的潜移默化并获取数学知识，才能有效提升学生的数形结合能力，最终形成深厚的数学素养.

　 第二节课由清潭中学的吴洋老师执教《最小覆盖圆》。吴老师巧设实验，利用实验的手册中学具，引导学生会观察、勤思考、善表达，从最简单的图形线段入手，重点研究了三角形的最小覆盖圆问题。整节课层层递进，借助自觉思维，触发学生的认知冲突，激活了学生思维，促进了学生问题解决能力的培养，发展了学生的核心素养。

常州市田家炳初级中学 沈秋萍

    今天听了吴洋老师的最小覆盖圆，收获颇多，感谢吴老师的精心准备。

    这是一个动手实验的课堂，与接受性学习相比，探究性学习更注重方法的传授和情感的培养以及能力的培养，整节课以问题为主线，探究问题均由浅入深，先探究线段的最小覆盖圆，学生动手操作后很容易理解，也很容易上手; 接着再分别探究直角三角形、锐角三角形、钝角三角形的最小覆盖圆问题; 遗憾时间关系没能在此研究的基础上继续探究四边形的最小覆盖圆的问题，最后运用学生自己总结出的四边形最小覆盖圆的结论解决实际问题，整节课问题层层推进，同时又保持了适当的“距离”，学生既不能轻易“得手”，又不觉得无计可施，使探究更具有操作性.

    本节课教学难点是锐角三角形和钝角三角形最小覆盖圆的探究，最好进而类比探索四边形的最小覆盖圆问题，蕴涵着分类思想和数形结合思想，从特殊到一般，转化思想等，从中可以体会到数学知识探究的全过程. 整堂课的教学以学生探究为主、并在探究形成结论的基础上，引导学生予以归纳和应用. 在整个教学过程中，吴老师是学生学习的合作者、倾听者，每时每刻关注着每一位学生的思维变化和探究过程，真正做到了让学生自己去探究、让学生通过小组合作去学习，在不知不觉中知识和能力渐渐形成.

    当然，数学的学习应该是以思维活动为核心的学习，在数学教学过程中，教师的重要任务就是培养和激发学生的探究欲望，寻求问题的发展、解决过程. 以探究 方式组织好学生的学习应该是一种比较高效的学习方式，怎样使学生能经常处于一种积极探究的活动之中，让学生在探究中有效地学习，是我们每一位教育工作者 为之而努力的目标.

    最后自己的一点建议：从直角三角形到锐角三角形到钝角三角形的最小覆盖圆最好能作为一个变式让学生思维深入思考，从而找到问题的本质并进行归纳。

常州市新北区浦河实验学校 眭亚燕

    教育需要创新,教学需要求新,教研需要走心。根据潘建明导师的培养计划，针对数学综合实践活动的教学与评价是基础教育的短板,如何开展好这样的课型？特意安排吴洋老师挑战了一节综合实践课——《最小覆盖圆》。本节课精彩纷呈，亮点颇多：

一、美图情境，诠释育才先育人

    育才，是教师的基本职责；育人，是教师的神圣使命。在吴洋老师的课堂上，数枚不同年代、大小不一、颜色各异、外圆内方的铜板一下子吸引了学生的眼球，更让人钦佩的是吴洋老师别具匠心地配文：“外圆内方，比喻人表面随和，内心严正. 做人要方圆并用，外圆内方才是境界。记得德国一位学者有过一个精辟的比喻：将15克盐放在你的面前，你无论如何也难以下咽。但将15克盐放入一碗美味可口的汤中，你早就在享用佳肴时，将15克盐全部吸收了。情境之于知识，犹如汤之于盐。盐需溶入汤中，才能被吸收；知识需要溶入情境之中，才能显示出活力和美感。吴洋老师精心创设的美图情境，在育人的同时瞬间把学生带入了本节课的主题。

二、递进操作，一实验得一模型

    吴老师递进式地精心设计了三个实验——覆盖线段、覆盖三角形、覆盖四边形。在每个实验中，吴老师引领学生经历“问题引领、动手操作、猜想结果、画图验证、模型提炼”五个步骤，分别提炼出三个实验的模型：线段的最小覆盖圆是以该线段为直径的圆；锐角三角形的最小覆盖圆是它的外接圆、直角三角形的最小覆盖圆是它的外接圆或者是以斜边（最长边）为直径的圆、钝角三角形的最小覆盖圆是以它的最长边为直径的圆；以最长的对角线为直径的圆。整节课吴老师循循善诱，积极引导学生发现数学奇妙之处与其发展规律，激发学生对数学模型的兴趣，也激发了学生带着问题解决问题的能力，整个过程使学生在学习过程中主动建立数学模型思想，发现数学问题的神奇力量。

三、思想方法，助力高效课堂构建

    本节课通过对线段、三角形的最小覆盖圆的探索，进而类比探索四边形的最小覆盖圆问题，其中蕴涵着分类思想、数形结合、从特殊到一般、化归思想等，从中体会到数学知识探究的全过程。整堂课的教学以学生探究为主、并在探究形成结论的基础上，引导学生予以归纳和应用。在整个教学过程中，教师扮演的角色始终是“导演”，学生是“演员”； 教师是“教练”，学生是“运动员”； 教师是学生学习的合作者、倾听者，每时每刻关注着每一位学生的思维变化和探究过程，真正做到了让学生自己去探究、让学生通过小组合作去学习，从而在不知不觉中渐渐形成知识和能力。

常州市正衡中学 朱祥生

    伴随着前几日的零星小雪，常州进入了凌冽的寒冬，但是得益于自觉教育名师工作室提供的这次宝贵的学习机会，让我有幸来到美丽的勤业中学参加本次研讨活动，听了两位老师精彩的示范课，使我感受颇深，受益匪浅，内心更是充满温暖。今天我主要从吴洋老师的课来分享一下我的感悟。

    吴老师这节课是一节实验活动课，她的教学设计能根据数学新课标的基本理念，精心设计学生的数学实验活动，教学过程具有相当鲜明的特点。主要体现在以下几点：

一、注重对学生综合素质的培养

    吴老师本节课随处渗透着对学生综合素质的培养，她注重引导学生观察、比较、讨论、交流、总结，从中国古代的铜钱引入，既与本课的最小覆盖圆完美契合，又渗透了中国古文化熏陶，增强学生民族自豪感。再如在教学中，每当学生出现错误的时候，吴老师不急于否定他的答案，而是让学生充分讨论，自我辨析，自我纠错，充分培养学生勇于质疑、积极探索、自我成长的品质。

二、由简单到复杂，从特殊到一般

    最小覆盖圆的探索是复杂的过程，吴老师从学生最易理解的线段入手，从为什么线段的最小覆盖圆是以线段为直径的圆出发，由浅入深的引导学生进行思维的碰撞，过程中充分的给予学生思维想象的空间，而开拓学生的思维想象空间是开放性教学的核心，唯有学生的思维空间被打开，思维被激活，学生的主体性才得以弘扬，学生的创新精神才有可能得到培养。在三角形的最小覆盖圆教学中也是从最简单也是最特殊的直角三角形开始，逐步引入到锐角三角形和钝角三角形，使学生易于接受，且对知识活学活用，掌握的更加扎实。

三、设置悬念，激发了学生的想象空间

    在本节课的教学过程中，吴老师注重将静态的实验材料变成动态的活动内容，让学生在做中学，在学中思，在思中悟，在悟中获，在获中用。教学中，引导学生观察中分析，在分析中点拨，从而进一步调动学生的学习兴趣，努力做到教法、学法的最优结合，使全体学生都能参与探索新知的过程。

     吴老师在教授“钝角三角形最小覆盖圆是最长边为直径的圆”这一知识点时，并不是一味的灌输，而是在很多学生出现了误以为钝角三角形最小覆盖圆是它的外接圆的错误时，让学生展开辩论，最终达成正确的共识。这一环节不仅提升了学生对数学的学习兴趣，更加深了学生对该知识点的理解，由此激发了学生的思维能力与表达能力。

    听了这两节课，特别是之后的潘校的点评，我深刻地反思了自己的教学过程，感慨万千，在今后的教学中，我还要多斟酌自己的教学设计，优化教学环节，争取使自己的课堂更加高效。

常州市新北区吕墅中学 郑金华

    今天吴洋老师上了一节《最小覆盖圆》，非常精彩，收获多多。

    这是一节数学活动建模课，要求学生做到“做中学，学中思，思中悟”，细化来讲，就是学生要动手亲自操作，动脑积极探索，动口有序表达。此外，因为没有教材可以参考，没有教辅可以参照，因此，这节课对老师的要求也很高，要求设计精准、有效的数学活动来推进学生的深度学习。

一、导入有新意

    本节课从古铜板导入，学生看到了“外圆内方”的铜板后。动手操作，用实验手册上的圆和正方形拼一个铜板的样子，从而引入今天研究的内容“覆盖圆”，紧接着用极限的思想，在覆盖圆中选择逐渐接近半径最小的那一个，就进入我们研究的主题“最小覆盖圆”。然后从最简单的图形——线段开始研究。在这里，可以设计一个接近学生生活的情景，尝试用数学的方法解决生活的问题：“小红的一件外套被钉子撕了一道，现在要用一个圆形的布料将此划口补上（接缝处不计），那么这个圆形的布料至少需要多大呢？从而让学生体会到数学研究的内容来源于生活，服务于生活，实现数学的应用价值。

二、探究有侧重

    探究三角形的最小覆盖圆时，应着重引领学生研究直角三角形的情况，对于锐角和钝角，建议可以让学生先尝试画一画任意一个锐角三角形和钝角三角形的最小覆盖圆，并让学生说一说三角形的最小覆盖圆有什么规律，写一写你所得到的规律。当然对于锐角和钝角，还可分组探究，全班四大组，两组探究锐角的，两组探究钝角的，这样不仅能节省一半的时间放于后面学习特殊四边形的最小覆盖圆，更能放手锻炼学生的操作能力和实验精神，培养学生的参与意识和探索创新能力。

三、内容有层次

    一个点，任意一个圆都是它的覆盖圆，点没有大小，因此没有办法探究其最小覆盖圆；两个点，连成一条线段；三个点（不在同一直线上），构成一个三角形；四个点（任意三点都不在同一直线上），构成一个四边形......从点到线段到三角形到四边形到......都能探究其最小覆盖圆，本节课的教学内容主线明晰，板块合理，梯度推进，环环相扣，从简单到复杂，从特殊到一般，结构化建构了最小覆盖圆的模型。由于时间关系，本节课没能完成预定内容，在时间的分配上如果更合理一些就更好了。

    本节课的亮点很多，比如不仅关注知识技能的传授，还有数学思想方法的渗透；比如留有充足的时间给学生操作、展示、表达，体现了学生为主体，教师为主导的教学理念；比如在课堂上给学生设有很多思辨的机会，发展学生思维的深度、广度，培养学生思维的深刻性......不再一一列举，受到很多启发，继续学习与前行。

    课后，两位上课老师详细阐述了上课的构思和想法。王向东、潘海波和赵霞三位老师也谈了自己听课的感受和想法，并对课堂中的流程框架进行了简单探讨。

    最后潘建明导师对两节课进行了精准的评讲，并总结了活动（实验）建模课的结构流程。

　每次“自觉”教研活动都是饕餮大餐，工作室成员总是收获颇丰，让我们一起期待下次活动的到来。